(Zumindest in den Fällen, wo sie sich Probleme ausdenken. Wenn sie Scheinlösungen zu realen Problemen anbieten, liegen sie natürlich falsch.)
(Zumindest in den Fällen, wo sie sich Probleme ausdenken. Wenn sie Scheinlösungen zu realen Problemen anbieten, liegen sie natürlich falsch.)
Aber “beliebig” ist in der Aussagenlogik kein gültiger Wahrheitswert.
Richtig, daher ist die Aussage ja dann auch ungültig.
Nein, die Wahrheitstabelle der Implikation ( A=>B ) lautet
Anders gesagt, A => B <=> ¬A v B
So etwas wie eine ungültige Aussage gibt es in der Aussagenlogik nicht*
Es stimmt also, das eine falsche Prämisse ein beliebiges Ergebnis implizieren kann. Die Gesamtaussage ist dann aber wahr.
“Wenn die Erde flach ist (falsch), dann ist die Antarktis eine große Eismauer (falsch).”
Diese Aussage ist wahr. Sie sagt aber nichts über die Realität aus, da die Prämisse nicht stimmt. Genauso kann nämlich eine wahre Aussage impliziert werden:
“Wenn die Erde flach ist (falsch), dann stellt der Klimawandel eine Bedrohung dar (wahr).”
Diese Aussage ist auch wahr, sagt aber genauso wenig über die Realität aus.
*Ausgenommen sind selbstreferenzierende Aussagen a la “Diese Aussage ist falsch”. Laut Gödel enthält jedes logische System solche unentscheidbare Widersprüche.
Natürlich gibt es die: A => ^A ist der Klassiker. Es ist nicht möglich, dass ein Argument, dessen Prämisse wahr ist, dann eine widersprüchliche Konklusion liefert. Diesen Zustand nennt man Ungültigkeit und das ist elementar für den Aufbau schlüssiger logischer Argumentation.
Ich zitiere mal diese Quelle: Ein deduktives Argument gilt genau dann als gültig , wenn es eine Form annimmt, die es unmöglich macht, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung trotzdem falsch ist. Andernfalls gilt ein deduktives Argument als ungültig.
Das ist aber kein aussagenlogisches Argument, sondern einfach (A & ^A) in natürlicher Sprache. Gödels Vollständigkeitssatz ist sogar der formale Beweis der semantischen Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe. Unvollständigkeit wird nur auf Systeme höherer Komplexität angewandt, die unvollständige Argumente in ihrer geschlossenen Domäne bzw. Theorie erlauben, weil sie einfach gar nicht dazugehören. Ich habe das Theorem immer als eine Art Unschärfefilter verstanden, aber ich bin auch kein Mathematiker. Ich bin aber sehr sicher, dass Aussagenlogik (z.B Peano) überhaupt axiomatisch notwendig sind, um die Gödel’schen Sätze über Vollständigkeit und Unvollständigkeit zu beweisen.
Auf keinen Fall ist das so. Das wäre ja schlimm. Stell dir mal vor, dann würde ja Trump mit allem, was er an Bullshit redet, am Ende recht haben. Das ist weder theoretisch noch intuitiv richtig.
Nein, die Konklusion dieses Arguments ist beliebig, nicht wahr. Es gibt nicht den Zustand “wahr, aber nicht realistisch” in der Logik. Beliebig ist hier korrekt, weil das Argument selbst eben nicht funktioniert und daher die Konklusion völlig irrelevant (=beliebig) ist.
Das ist übrigens auch der Hinterrgund hinter dem beliebten “Ex contradictione sequitur quodlibet” bzw halt “Ex falso quodlibet”. Formal sagt dieser Satz: Es gibt Argumente, die in der Aussagenlogik nicht ohne den Verzicht auf Gültigkeit (=Ungültigkeit) geführt werden können.
In der Aussagen Logik besagt das Gesetz des ausgeschlossen Dritten (tertium non datur wenn man fancy sein will), das jede Aussage entweder wahr oder falsch ist (Es gibt ternäre Logiken die auch “unbekannt” als Wert enthalten). Aussagenlogisch ist “Falsch => Falsch” also wahr.
Ja, ich kenne das Gesetz, aber der gilt nur für gültige Argumente. Falsch => Falsch ist in jedem Fall wahr, A => ^A ist aber unerfüllbar (Satz vom Widerspruch) und in der formalen Logik ist das ein ungültiger Zustand. Kann es vielleicht sein, dass du von Schlüssigkeit redest? Ein Argument ist dann schlüssig, wenn es gültig ist (siehe oben) und alle Prämissen wahr sind.
Gültig war in meiner Logik Vorlesung für X Jahren definiert als “wahr für alle Belegungen”. In dem Sinne ist die Formel
Aauch “ungültig”.Die Eigenschaft die auf A => ^A zutrifft ist unerfüllbar.
Vielleicht waren verschiedene Definition der Auslöser für dieses ganze hin und her
Sehr gut möglich. Ich hab im Rahmen dieser Diskussion hier mehrere Vorlesungsskripte verschiedener FBs und Unis gelesen und das war alles ganz schön unstetig, was man dort so liest.
Das ist eine echt spannende Diskussion, ich hoffe, ich nerve dich nicht damit -
Mir liegt Recht wenig darin, zu versuchen, dich auf Biegen und Brechen zu überzeugen, also wenn du keine Lust mehr hast, sag bitte einfach Bescheid c:
Ich hab an der Uni ein Semester zu formaler Logik gehört, und während mit das Thema sehr viel Spaß macht, muss ich zugeben, dass es oft sehr unintuitiv ist.
Das erste Missverständnis ist, denke ich, dass ich hier bisher ausschließlich über formale Aussagenlogik rede. In der Aussagenlogik geht es nur darum, fundamentale Grundaussagen (“Atome”), die entweder “wahr”/“1” oder “falsch”/“0” sind, zu einer Aussage zu verknüpfen, und zu schauen, ob die resultierende Aussage wahr ist. “Wahr” heißt hierbei etwas anderes als im umgangssprachlichen, und macht keine Aussage über die Realität.
Der Wahrheitsgehalt dieser Aussagen hängt nur davon ab, ob die Atome wahr sind. Man muss sehr, sehr vorsichtig sein, daraus irgendwelche Wertungen zu ziehen, die die Realität betreffen. Du redest bereits von deduktiver Logik, wie deine Quelle auch. Hierbei gilt ein Argument als “gültig”(“sound”), wenn sie immer wahr ist, angenommen alle Prämissen sind wahr. Ist ein Argument gültig, und alle Prämissen sind wahr, dann ist es “schlüssig”.
Das stimmt nicht ganz, in klassischer Logik hat die Aussage (A => ¬A) den Wahrheitswert ¬A. Du hast allerdings Recht, das Gödels Unvollständigkeitssätze auf logische Systeme höherer Komplexität angewendet werden, da, soweit ich weiß, Selbstreferenzierung möglich sein muss. In jedem Fall ist es kein gültiges Argument im Sinne der deduktiven Logik.
Hier hast du dich glaube ich selber durcheinander gebracht. Im Sinne der deduktiven Logik ist solch ein Argument in jedem Fall nicht schlüssig, und potentiell sogar ungültig. Das ist unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Aussage, da ja die Prämisse schon falsch ist. Ungültig ist aber nicht das gleiche wie falsch, und erst Recht nicht eine dritte
Nee, gar nicht! Ich diskutiere gern über Dinge, warum auch nicht. Ist ja auch schon eine Weile her bei mir, bin selbst mal gespannt, was ich überhaupt noch weiß :)
Ich hatte da etwas Vorsprung, ich hab zu der Grundversanstaltung noch Logik II + III gehört, am Ende ging es aber nur noch um Kellerautomaten und Touringvollständigkeit, also nicht mehr wirklich das, was wir hier haben.
Aussagenlogik ist meines Wissens ein Teilbereich der symbolisch-deduktiven Logik, zusammen mit der Prädikatenlogik und dem Lambda-Kalkül. Ich weiß nicht, ob es auch induktive Aussagenlogik gibt, aber davon habe ich noch nie was gehört.
Soweit stimme ich zu. Aber das braucht man zum Schlussfolgern und das ist doch ein wesentlicher Bestandteil der Aussagenlogik, soweit mir das geläufig ist.
Genau. Hier müssten wir jetzt wirklich klären, ob Aussagenlogik ein Teil davon ist. Nach meinem Dafürhalten ist das so.
Also, wir betrachten hier ja z.B. diese Aussage:
A -> ^B
Wenn nun also ^A gilt, dann folgt daraus nicht automatisch B, aber auch nicht ^B. Soweit sind wir uns glaube ich einig. Die Gültigkeit ist soweit gegeben, Schlüssigkeit folglich nicht. Von falsch sagte ich nichts, sondern eben, dass durch die Prämisse keine Aussage über den Wahrheitsgehalt der Konklusion mehr getroffen werden kann. Das ist ja gerade der Unterschied, der durch die Gültigkeit getroffen wird. Im Sinne der Soundness (mag ich viel lieber dieses Wort) muss aber die Prämisse eintreffen, um deduktive Schlüsse ziehen zu können.
Wenn du das ganze natürlich rein formal betrachten willst, dann geht das. Darin sehe ich aber nicht so viel Sinn. Und mit induktiver Logik kenne ich mich ehrlicherweise nicht sonderlich gut aus, das scheint mir auch eher ein sehr spezifischer Teil dieser Wissenschaften zu sein.
Also, in meiner VO Theoretische Grundlagen der Informatik gab es (bisher) keine ungültigen Aussagen. Es kam schon vor, dass man aus falschem beliebiges schließen kann, aber halt trotzdem in dem Sinne, dass die Implikation (die gesamte Aussage, nicht unbedingt der rechte Operand der Aussage) dann immer wahr ist. Bei uns geht es halt auch eher darum, was der Rechner mit den Werten anfängt, und ungültige Werte sind da wohl eher kontraproduktiv.
Ich muss aber auch sagen, dass die Diskussion, die ich hier losgetreten habe, etwas aus meinem Fahrwasser ist und ich jetzt gerne nach meiner Mama rufen würde, wenn das okay ist.
Keine Angst, soweit ich es mitbekomme, drehen wir zwar völlig ab über ein sinnloses Thema, aber es ist gesittet und macht Spaß.
Es ist okay. Gehst du bitte solange im Bälleparadies warten?
Ansonsten zum Thema Gültigkeit: du kannst mal das sehr kurze Kapitel “Formale Korrektheit” auf der Wiki-Seite zum Thema Schlüssigkeit durchlesen. Da ist es so definiert, wie ich es in der Uni gelernt habe.
Einfach ausgedrückt ist es so: Wenn die Prämisse wahr ist, darf es nicht sein, dass die Konklusion im Widerspruch steht (wie bei
A=>^A). Ist dies der Fall, spricht man von einem ungültigen Argument.Schlüssigkeit folgt daraus und der Wahrheit der Prämisse.
Ich denke mal mit “beliebig” ist umgangssprachlich einfach “wahr oder falsch” (kein logisches Oder) gemeint.